Discrete Fourier Transform

这一章围绕DFT以及DFT的快速算法展开。我们将从DFS引出DFT，进而提出简化算法复杂度的DFT算法——FFT。我们还将简单讨论Chirp-z变换，以及FFT在线性卷积、IDFT、相关函数计算上的应用。

几个问题

为什么要DFT？

一个信号的DTFT在频域内是一个连续的周期函数，对于连续信号来说，难以用计算机存储，因此我们需要一种离散的频域表示方法！DFT就是这样一种离散的频域表示方法。

DFS vs. DFT

DFS (Discrete Fourier Series) 针对的是周期序列，而DFT (Discrete Fourier Transform) 针对的是有限长序列。DFT相当于从一个周期信号的“主值区间”完成了DFS的工作。

DFT 的分辨率和什么有关？

分辨率定义为采样频率与信号点数相除。只有信号的截取长度\(N\)。和补零多少是无关的，因为补零只是相当于对一个相同的DTFT采用了不同的采样密度而已。

区分各种卷积

一般在DSP中常用的卷积有以下三种：

线性卷积
周期卷积
循环卷积

下面将对这三种卷积方式进行简要的区分。

三者之间的关系

周期卷积是线性卷积以一定序列长度（设为L）为周期的周期延拓。
对周期卷积取主值序列得到循环卷积。
假设\(L\)为循环区间长度：
- 当\(L < N+M-1\) 时，循环卷积是线性卷积长度为L的混叠；
- 当\(L=N+M-1\)时，循环卷积=线性卷积；
- 当\(L>N+M-1\)时，循环卷积是线性卷积末尾补\(L-(N+M-1)\)个零；

线性卷积

可以采用竖式乘法完成线性卷积。下面的C++代码展示了线性卷积的实现。序列的长度为 m+n-1，其中m和n分别为输入序列的长度。

// 线性卷积
void convolution(double input1[], double input2[], double output[], int n, int m)
{
    int k = 0;
	int i = 0;
    int j = 0;

	for (k = 0; k < m + n - 1; k++) 
	{
		output[k] = 0;
	}

	//开始卷积
	//利用时延效果，记录所有乘积后，时间位置一样的相加
	for (i = 0; i < m; i++) 
	{
		for (j = 0; j < n; j++) 
		{
			output[i + j] += input1[i] * input2[j];
		}
	}
}

周期卷积

定义式： \(\widetilde{y}[n] = \sum_{k=0}^{N-1} \widetilde{x_1}[k] \widetilde{x_2}[n-k]\)

是无限长离散周期信号通过一个离散时间系统后的响应。这个概念和DFS密切联系在一起。

循环卷积

也叫作“圆周卷积”。和线性卷积相比，循环卷积的长度为\(L\)，是指定的。

一种快速算循环卷积的办法：竖式算出来线性卷积之后，按照给定的窗大小，将在窗外的点依次补回窗的起点（相加）。

DFT的性质

定义一个符号\(W_N\)，表示N次单位根，按顺时针方向排列。具体的表达式为：

\[W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}\]

n次单位根有下面的性质。这些性质直接奠定了蝶形算法的基础。

DFS的移位性质

\[DFS[\widetilde{x}(n+m)] = W_N^{-mk}DFS[\widetilde{x}(n)]\]

\(m>0\) 时相当于循环右移，\(m<0\)时相当于循环左移。

对称特性：

\[W_N^{k(N-n)} = (W_N^{kn})^*\] \[W_N^{k} = -W_N^{k+\frac{N}{2}}\]

周期特性：

\[W_N^{kn} = W_N^{k(n+N)} = W_N^{(k+N)n}\]

快速算法——FFT

蝶形算法和 Bit-Reversal

蝶形算法
- 每一个\(2^n\)点DFT都可以变成一个蝶形单元的运算。最小的蝶形单元是2点DFT。
- 每一级都有N/2个蝶形单元。
- 算法复杂度：\(\mathcal{O}(\frac{N}{2}log_2 N)\)。
Bit-Reversal：输入和输出是二进制位反转的关系。对于按时间抽取的FFT，先Bit-reverse，再进行蝶形运算，对于按频率抽取的FFT，先蝶形运算，再Bit-reverse。

任意合数点FFT 与 4-radix FFT

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凸另法？

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Chirp-z变换

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滤？

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默扯桥趋！

线性卷积、IDFT、相关函数计算上的应用

IDFT

硬件上可以直接复用FFT模块。对输入的处理如下：

虚部取负号
乘以常数1/N，如果是 2-radix FFT，可以直接右移\(log_2 N\)位。

线性卷积计算

如果输入序列长度小于或等于N，则输入补0后进行N点FFT，过乘法器后IDFT。如果输入序列长度大于N，则需要进行Overlap。

Overlap and Add: 相当于把输入序列拆成n小段，每一段长度假定为\(N_2\)。待乘序列\(h(n)\)长度为\(N_1\)，则输出序列\(y(n)\)长度为\(N_1+N_2-1\)。此时每一段输出序列会有\(N_1-1\)个点重叠。需要将重叠的部分拼在一起相加。
Overlap and Save: 相当于把长度为\(N_2\)的输入序列拆成n小段，但此时每一段长度为\(N_1+N_2-1\)。选取序列的时候，保留上一段的\(N_1-1\)个点。利用FFT进行循环卷积后，将结果的\(N_1-1\)个点删除，之后首尾相接得到结果。